? 春招備戰(zhàn)指南 ?

?? 學(xué)習(xí)建議：

• 先嘗試獨(dú)立解題（建議用時(shí)：90分鐘/套）
• 對照解析查漏補(bǔ)缺

?? 題面描述背景等均已深度改編，做法和題目本質(zhì)基本保持一致。

?? 感謝各位朋友們的訂閱，你們的支持是我們創(chuàng)作的最大動力

?? 目前本專欄已經(jīng)上線60+套真題改編解析，后續(xù)會持續(xù)更新的

春秋招合集 -> 互聯(lián)網(wǎng)必備刷題寶典??

題目一：螺旋迷宮蛇行挑戰(zhàn)

1??：分析螺旋路徑可能的碰撞情況

2??：根據(jù)路徑片段長度關(guān)系，判斷是否會相撞

難度：中等

這道題目的關(guān)鍵在于理解只能向右轉(zhuǎn)的螺旋路徑特性，并分析可能出現(xiàn)的碰撞情況。通過數(shù)學(xué)關(guān)系分析，我們可以得到判斷碰撞的條件，從而實(shí)現(xiàn)O(n)的高效解法，避免了復(fù)雜的路徑模擬。

題目二：魔法水晶共振組合

1??：分析三個數(shù)兩兩相乘為完全平方數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)

2??：將每個數(shù)拆分為無平方因子部分和平方因子部分

3??：統(tǒng)計(jì)無平方因子部分相同的數(shù)量，計(jì)算組合數(shù)

難度：中等偏難

這道題目結(jié)合了數(shù)論知識和組合計(jì)數(shù)。通過理解完全平方數(shù)的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)滿足條件的三元組必須具有相同的無平方因子部分。利用埃氏篩和質(zhì)因數(shù)分解，可以高效地找出所有滿足條件的三元組數(shù)量。

題目三：矩陣魔法變換

1??：分析L形區(qū)域操作的特點(diǎn)和影響

2??：對于足夠大的矩陣，每次操作改變3個單元格的值

3??：檢查總和是否能被3整除或特殊情況判斷

難度：中等

這道題目需要洞察矩陣操作的數(shù)學(xué)本質(zhì)。關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)是：當(dāng)矩陣足夠大時(shí)，每次操作影響3個單元格，因此總和必須能被3整除才可能全部變?yōu)?。對于特殊情況（如行列數(shù)小于2），需要單獨(dú)判斷。這種解法將復(fù)雜問題簡化為簡單的數(shù)學(xué)關(guān)系判斷。

01. 螺旋迷宮蛇行挑戰(zhàn)

問題描述

小基 最近開發(fā)了一款創(chuàng)新的迷宮游戲，在這個游戲中，玩家控制的是一條只能向右轉(zhuǎn)彎的蛇形機(jī)器人。這意味著機(jī)器人的移動軌跡呈現(xiàn)單螺旋結(jié)構(gòu)，如下圖所示：

小基 將機(jī)器人的移動路徑記錄為一系列直線段長度，即每次直行 的長度后，右轉(zhuǎn) 90 度繼續(xù)前進(jìn)?，F(xiàn)在，小基 想要確定機(jī)器人是否會在移動過程中撞到自己之前的路徑。

輸入格式

第一行輸入測試用例的個數(shù) 。

對于每一組測試用例，第一行輸入機(jī)器人路徑的段數(shù) 。

隨后一行給出 個正整數(shù) ，表示每一段直線的長度。

輸出格式

對于每一組測試用例，單獨(dú)輸出一行字符串。

若機(jī)器人會撞到自身路徑，輸出""，否則輸出""。

樣例輸入

1
6
5 7 11 12 16 17

1
6
2 3 4 4 7 7

樣例輸出

NO

NO

數(shù)據(jù)范圍

題解

這道題目考察的是判斷一條按照特定規(guī)則移動的"蛇"是否會與自身相撞。

首先，我們需要理解題目中的單螺旋結(jié)構(gòu)：機(jī)器人只能向右轉(zhuǎn)彎（順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度），形成一個從內(nèi)到外的螺旋。給定的數(shù)組表示機(jī)器人每一段直線移動的長度，之后就會右轉(zhuǎn)。

判斷是否相撞，本質(zhì)上是檢查新的移動路徑是否會與之前的路徑相交。對于這種螺旋形狀，有幾種典型的碰撞情況：

1. 當(dāng)前段與前前段相撞：第i段長度大于等于第(i-2)段，同時(shí)第(i-1)段長度小于等于第(i-3)段
2. 當(dāng)前段與更早的段相撞：需要考慮特殊的幾何關(guān)系

通過分析可能的碰撞場景，我們可以得出幾個判斷條件：

• 如果第i段長度 >= 第(i-2)段長度，且第(i-1)段長度 <= 第(i-3)段長度，則會相撞
• 如果第(i-1)段長度等于第(i-3)段長度，且第i段長度 + 第(i-4)段長度 >= 第(i-2)段長度，則會相撞
• 還有更復(fù)雜的情況：當(dāng)?shù)?i-2)段長度 >= 第(i-4)段長度，且第i段長度 >= 第(i-2)段長度 - 第(i-4)段長度，同時(shí)第(i-1)段長度在一定范圍內(nèi)時(shí)，也會相撞

時(shí)間復(fù)雜度為O(N)，對于給定的數(shù)據(jù)范圍（N最大為10^5）完全可以接受。這種方法避免了模擬整個路徑的復(fù)雜性，而是通過純數(shù)學(xué)關(guān)系判斷是否會相撞。

參考代碼

• Python

import sys
input = lambda:sys.stdin.readline().strip()

def can_hit(lens):
    # 判斷是否會碰撞的函數(shù)
    for i in range(3, len(lens)):
        # 情況1: 當(dāng)前段與前前段碰撞
        if lens[i] >= lens[i-2] and lens[i-1] <= lens[i-3]:
            return True
        # 情況2: 特殊情況處理
        if i >= 4 and lens[i-1] == lens[i-3] and lens[i] + lens[i-4] >= lens[i-2]:
            return True
        # 情況3: 更復(fù)雜的幾何關(guān)系
        if (i >= 5 and lens[i-2] >= lens[i-4] and 
            lens[i] >= lens[i-2] - lens[i-4] and
            lens[i-1] >= lens[i-3] - lens[i-5] and 
            lens[i-1] <= lens[i-3]):
            return True
    return False

def main():
    # 讀取測試用例數(shù)
    t = int(input())
    for _ in range(t):
        # 讀取路徑段數(shù)
        n = int(input())
        # 讀取每段長度
        lens = list(map(int, input().split()))
        # 判斷并輸出結(jié)果
        print("Yes" if can_hit(lens) else "NO")

if __name__ == "__main__":
    main()

• Cpp

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

// 判斷蛇是否會撞到自身
bool check_collision(const vector<ll>& lens) {
    for (int i = 3; i < lens.size(); i++) {
        // 第一種碰撞情況
        if (lens[i] >= lens[i-2] && lens[i-1] <= lens[i-3]) {
            return true;
        }
        // 第二種碰撞情況
        if (i >= 4 && lens[i-1] == lens[i-3] && 
            lens[i] + lens[i-4] >= lens[i-2]) {
            return true;
        }
        // 第三種復(fù)雜碰撞情況
        if (i >= 5 && lens[i-2] >= lens[i-4] && 
            lens[i] >= lens[i-2] - lens[i-4] &&
            lens[i-1] >= lens[i-3] - lens[i-5] && 
            lens[i-1] <= lens[i-3]) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int t;
    cin >> t;
    
    while (t--) {
        int n;
        cin >> n;
        
        vector<ll> lens(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> lens[i];
        }
        
        bool hit = check_collision(lens);
        cout << (hit ? "Yes" : "NO") << "\n";
    }
    
    return 0;
}

• Java

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int t = Integer.parseInt(br.readLine().trim());
        
        for (int tc = 0; tc < t; tc++) {
            int n = Integer.parseInt(br.readLine().trim());
            String[] tokens = br.readLine().trim().split(" ");
            
            long[] lens = new long[n];
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                lens[i] = Long.parseLong(tokens[i]);
            }
            
            boolean hit = checkHit(lens);
            System.out.println(hit ? "Yes" : "NO");
        }
    }
    
    // 檢查蛇是否會撞到自身
    private static boolean checkHit(long[] lens) {
        for (int i = 3; i < lens.length; i++) {
            // 碰撞條件1
            if (lens[i] >= lens[i-2] && lens[i-1] <= lens[i-3]) {
                return true;
            }
            // 碰撞條件2
            if (i >= 4 && lens[i-1] == lens[i-3] && 
                lens[i] + lens[i-4] >= lens[i-2]) {
                return true;
            }
            // 碰撞條件3
            if (i >= 5 && lens[i-2] >= lens[i-4] && 
                lens[i] >= lens[i-2] - lens[i-4] &&
                lens[i-1] >= lens[i-3] - lens[i-5] && 
                lens[i-1] <= lens[i-3]) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}

02. 魔法水晶共振組合

問題描述

在小柯的魔法研究實(shí)驗(yàn)室中，有一種特殊的水晶具有奇妙的共振特性。當(dāng)三塊水晶的能量值分別為 、 和 時(shí)，如果它們兩兩結(jié)合產(chǎn)生的共振能量（即 、 和 ）都是完美平方能量（即某個整數(shù)的平方），那么這三塊水晶被稱為"共振三元組"。

小柯的實(shí)驗(yàn)室里有編號從 到 的水晶，每塊水晶的能量值等于其編號。她想知道在這些水晶中，有多少種不同的共振三元組組合，即滿足 且 、 和 都是完全平方數(shù)的三元組 的數(shù)量。

輸入格式

輸入一個正整數(shù) ，表示水晶的最大編號。

輸出格式

輸出一個整數(shù)，表示滿足條件的共振三元組數(shù)量。

樣例輸入

9

16

樣例輸出

1

4

數(shù)據(jù)范圍

樣例1	當(dāng) 時(shí)，滿足條件的三元組只有 ，因?yàn)?，， 都是完全平方數(shù)
樣例2	當(dāng) 時(shí)，滿足條件的三元組有 、、 和

題解

這道題目要求我們找出滿足特定條件的三元組數(shù)量。條件是：三個數(shù) 、、 兩兩相乘的結(jié)果都是完全平方數(shù)。

乍一看，似乎需要枚舉所有可能的三元組，但這樣會導(dǎo)致 的時(shí)間復(fù)雜度，對于 最大為 的情況來說太慢了。

仔細(xì)分析這個條件，如果 、 和 都是完全平方數(shù)，那么這三個數(shù)有什么共同特性呢？

關(guān)鍵洞察：如果將每個數(shù)分解為質(zhì)因數(shù)的乘積，那么當(dāng)兩個數(shù)相乘結(jié)果為完全平方數(shù)時(shí)，意味著它們共同的質(zhì)因數(shù)必須出現(xiàn)偶數(shù)次。

換個角度思考，我們可以將每個數(shù)表示為 ，其中 是無平方因子的部分（squarefree）， 是平方因子。對于任意兩個數(shù) 和 ，它們的乘積是完全平方數(shù)的條件是 。

基于這個觀察，我們可以計(jì)算每個 值出現(xiàn)的次數(shù)，然后對于每個 值，我們從對應(yīng)的數(shù)中選取3個數(shù)的組合數(shù)量，即 。

算法步驟：

1. 先預(yù)處理出每個數(shù)的最小質(zhì)因子（使用埃氏篩法）
2. 對于每個數(shù) 從 到 ，計(jì)算其無平方因子部分
3. 統(tǒng)計(jì)每個 值出現(xiàn)的次數(shù)
4. 對于每個 值，計(jì)算 并累加到答案中

時(shí)間復(fù)雜度為 ，主要在于質(zhì)因數(shù)分解的過程?？臻g復(fù)雜度為 ，用于存儲最小質(zhì)因子和計(jì)數(shù)。

參考代碼

• Python

import sys
input = lambda:sys.stdin.readline().strip()